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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.8. Estudiar continuidad y derivabilidad en x0x_{0} de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.
f) f(x)={x2 si x≤0x si x>0;x0=0f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2} & \text { si } & x \leq 0 \\ \sqrt{x} & \text { si } & x>0\end{array} ; x_{0}=0\right.

Respuesta

Arrancamos estudiando continuidad\textbf{continuidad} en x0=0 x_0 = 0 :
Verificamos las tres condiciones necesarias para que f(x) f(x) sea continua en x=0 x = 0 : a) f(0)=0 f(0) = 0 b) Calculamos el límite de f(x) f(x) cuando x x tiende a 00. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:

lim⁡x→0−x2=0 \lim_{{x \to 0^-}} x^2 = 0
lim⁡x→0+x=0 \lim_{{x \to 0^+}} \sqrt{x} = 0
 
Como los límites por derecha y por izquierda coinciden, entonces el límite existe y vale 00.

c) El límite cuando xx tiende a 00 existe y vale lo mismo que f(0)f(0), por lo tanto, ff es continua en x=0x=0

Estudiamos ahora derivabilidad\textbf{derivabilidad} en x0=0 x_0 = 0 : Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener f′(0)f'(0), ya que queremos calcular la derivada justo en el xx donde la función se parte. f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}

Nuevamente, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:

Para el límite por izquierda cuando h→0− h \to 0^- :

lim⁡h→0−f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0−(0+h)2−0h=lim⁡h→0−h2h=lim⁡h→0−h=0 \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{(0+h)^2 - 0}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{h^2}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} h = 0

Para el límite por derecha cuando h→0+ h \to 0^+ :

lim⁡h→0+f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0+0+h−0h=lim⁡h→0+h1/2h=lim⁡h→0+1h1/2=+∞\lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{\sqrt{0+h} - 0}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^{1/2}}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{1}{h^{1/2}} = +\infty

Los límites por derecha y por izquierda no coinciden (de hecho por derecha ni siquiera nos da un número), por lo tanto, f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=No existe f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \text{No existe}  

Esto significa que la función no es derivable en x=0 x = 0 .
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