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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.8.
Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.
f) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2} & \text { si } & x \leq 0 \\ \sqrt{x} & \text { si } & x>0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
f) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2} & \text { si } & x \leq 0 \\ \sqrt{x} & \text { si } & x>0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
Respuesta
Arrancamos estudiando $\textbf{continuidad}$ en \( x_0 = 0 \):
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Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \):
a) \( f(0) = 0 \)
b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a $0$. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
\( \lim_{{x \to 0^-}} x^2 = 0 \)
\( \lim_{{x \to 0^+}} \sqrt{x} = 0 \)
Como los límites por derecha y por izquierda coinciden, entonces el límite existe y vale $0$.
c) El límite cuando $x$ tiende a $0$ existe y vale lo mismo que $f(0)$, por lo tanto, $f$ es continua en $x=0$
Estudiamos ahora $\textbf{derivabilidad}$ en \( x_0 = 0 \):
Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener $f'(0)$, ya que queremos calcular la derivada justo en el $x$ donde la función se parte.
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \)
Nuevamente, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
Para el límite por izquierda cuando \( h \to 0^- \):
\( \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{(0+h)^2 - 0}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{h^2}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} h = 0 \)
Para el límite por derecha cuando \( h \to 0^+ \):
$\lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{\sqrt{0+h} - 0}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^{1/2}}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{1}{h^{1/2}} = +\infty$
Los límites por derecha y por izquierda no coinciden (de hecho por derecha ni siquiera nos da un número), por lo tanto,
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \text{No existe} \)
Esto significa que la función no es derivable en \( x = 0 \).
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